Fungsi dengan Dua Fariabel

Tujuan Instruksional :
Memahami diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas

Fungsi dengan dua variabel atau lebih variabel bebas ini sering kita jumpai dalam penerapan bidang ekonomi dan bisnis. Karena dalam kenyataannya, bila ditelusuri lebih mendalam biasanya suatu variabel terikat (dependent variable) akan dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas (independent variables). Namun, perlu diingat bahwa di antara variabel-variabel bebas ini ada yang saling mempengaruhi (interdependency), dan ada pula yang tidak saling mempengaruhi (independent) satu sama lainnya. Hal inilah yang perlu diperhatikan bilamana akan membuat suatu model ekonomi atau bisnis, agar dalam analisisnya nanti akan diperoleh hasil yang sesuai dan akurat.

Diferensiasi parsial
Misalkan, kita mempunyai suatu fungsi dengan n variabel bebas,

Y = f (X1,X2,..........................Xn)

di mana variabel bebas X1,X2, dan seterusnya sampai Xn adalah tidak saling mempengaruhi (independent) satu sama lainnya. Jika variabel terikat Y berubah yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu varibel bebas yang sangat kecil (katakannlah X1), sedangkan variabel bebas lainnya katakanlah (X2,X3, ... , Xn) tidak berubah atau konstan, maka hal ini dapat disebut sebagai derivatif parsial dari Y terhadap X1. Selanjutnya , hal yang serupa bila variabel bebas X2 yang berubah-ubah dan variabel bebas lainnya konstan, maka kita sebut derivatif parsial dari Y terhadap X2. Dengan demikian, derivatif parsial dapat didefinisikan sebagai tingkat perubahan seketika dari variabel terikat Y yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu variabel bebas X, dimana variabel bebas X lainnya dianggap konstan.
Simbol dari derivatif parsial adalah huruf kecil delta yaitu ∂ atau dengan huruf kecil d. Jadi, derivatif parsial Y terhadap X1, dapat ditulis menjadi,
∂ Y atau dy atau Fxx dan Fyy atau Fx’ dan Fy’
∂ X1 dx

Penulisan lain derivatif parsial dari suatu fungsi,

Y = f (X1,X2,....Xn) adalah f1,f2, ..... fn

Penulisan ini hampir sama dengan penulisan f’(X) pada fungsi dengan satu variabel bebas. Namun, bilamana fungsi tidak ditulis dalam bentuk seperti di atas, melainkan fungsi ditulis dalam bentuk seperti,

Y = f (U,V,W), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau ∂Y/∂U, atau ∂Y/∂V, dan ∂Y/∂W.

Jadi, penulisan derivatif parsial secara umum dari fungsi,

Y = f (X1,X2,....Xn) adalah

fi atau ∂Y
∂Xi


di mana: i = 1,2,.....,n

Proses untuk mencari derivatif parsial disebut diferensial parsial. Teknik diferensiasi parsial ini berbeda dengan aturan diferensiasi fungsi dengan satu variabel bebas. Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan yaitu : jika y = f (x) maka y’ = dy/dx. Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, atau jika suatu fungsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanyak n turunan. Jika y = f (x,z) maka akan ada 2 y’ yaitu y’ = dy/dx dan y’ = dy/dz. Untuk membedakan turunan terhadap x dan z maka biasanya akan diberi notasi Fx untuk turunan terhadap x dan Fz untuk turunan terhadap z.
Contoh :
Y = 3x² - 8xz – 5 z² maka Fx = dy/dx = 6x – 8z dan
Fz = dy/dz = -8x –10 z

Derivatif dari derivatif parsial
Seperti halnya dengan fungsi dengan satu variabel bebas maka fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing-masing parsialnya masih mungkin diturunkan lagi, namun berapa banyak turunan dari turunan parsial dapat dibentuk tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut.


Contoh :
Y = X³ + 5 Z² - 4 X² Z – 6 XZ² + 8Z – 7
Turunan 1 Turunan 1
Fx = dy/dx = 3 X² - 8 XZ – 6 Z² Fz = dy/dz = 10 Z - 4 X² – 12 XZ

Turunan 2 Turunan 2
Fxx = d²y/dx² = 6 X – 8 Z Fzx = d²y/dzdx = -8 X – 12 Z
Fxz = d²y/dxdz = -8 X – 12 Z Fzz = d²y/dz² = 10 – 12 X

Turunan 3 Turunan 3
Fxxx = d³y/dx³ = 6 Fzxx = d³y/dzdx² = -8
Fxxz = d²y/dx²dz = -8 Fzxz = d³y/dz²dx = -12

Fxzx = d³y/ dx²dz = -8 Fzzx = d³y/ dz²dx = -12
Fxzz = d³y/ dxdz² = -12 Fzzz = d³y/ dz³ = 0

Sekarang turunan-turunan parsial ketiga ini tidak dapat diturunkan lagi karena masing-masing hanya mengandung konstanta.

Latihan:
N = 5 KL + 2K²L – 7 K + 5L
NK =
NL =
L = F⅝ K⅜ + 2 F⅛ K⅜
LF =
LK =
A = 6 K⅔ L⅓ - 2 K¼ L⅔
AK =
AL =
F =2 Xˉ² Y² + 3 XY + 6 XY² - 4 Xˉ² Y – 2 Y + 3 X
FX =
FY =

Nilai ekstrim: maksimum dan minimum
Nilai ekstrim dari (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya :

Untuk y = f (x,z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :
Fx = dy/dx = 0 dan Fz = dy/dz=0


Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Untuk mengetahui apakah titik ekstrim tersebut titik maksimum atau minimum, digunakan syarat yang harus dipenuhi yaitu:

Maksimum bila Fxx = d²y/dx² < fzz="d²y/dz²" fxx =" d²y/dx²"> 0 dan Fzz = d²y/dz² >0


Contoh 1:
Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini adalah titik maksimum atau titik minimum ? : y = -x² + 12x -z² + 10z – 45
Jawab :

Fx = -2x + 12 = 0 y = -6² + 12 . 6 -5² + 10 . 5 – 45 = 16
-2x + 12 = 0 Fxx = -2 < 2x =" 12" x =" 6" fz =" -2z" 10 =" 0" maks =" 16" 10 =" 0" 2z =" 10" z =" 5" p =" 3q²" 18 =" 0" q =" 3" 8 =" 0" r =" 4" p =" 3" p =" 27" p =" 7"> 0
Fr’’ = 2 > 0
Karena Fq’’ dan Fr’’ > 0, titik ekstrimnya adalah titik minimum dengan P min = 7

Latihan :
Selidikilah titik maksimum ataukah titik minimum dan berapa nilai titik maks atau min tersebut dari persamaan berikut:
y = 3x² - 18x + z² - 8z + 50
p = 4 q² - 6 q²r + 3 qr² + 3 r² + 5
y = 2x² - 20x + z² - 8z + 78


4. Optimasi bersyarat : Pengganda Lagrange
Dalam kenyataan kita sering sekali harus mengoptimalkan suatu fungsi yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi, atau dengan kata lain hendak mengoptimumkan tetapi menghadapi kendala. Dalam kasus ekonomi hal ini banyak sekali terjadi, misalnya hendak mengoptimalkan kepuasan tetapi terbentur oleh pendapatan yang terbatas, atau ingin memaksimumkan laba tapi terbentur oleh terbatasnya jumlah produk yang dapat dihasilkan.
Pengganda Lagrange
Adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah diatas yaitu ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terbentur oleh adanya batasan (kendala).

Caranya:
F = Fungsi yang hendak dioptimumkan + λ (fungsi kendala)

Kemudian cari nilai ekstrimnya dengan cara diferensiasi parsial:
Fx’ = 0
Fy’ = 0
Kemudian masukkan nilai ekstrim tersebut ke dalam fungsi kendala, sehingga diperoleh nilai variabel x dan variabel y. Barulah dimasukkan ke dalam fungsi yang hendak dioptimumkan.

Contoh 1:
Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan kendala x² + y² = 8
Jelas pula nilai ekstrimnya.

Jawab :
Fungsi Lagrange = F = 2x + 2y + λ(x²+ y² - 8) = 2x + 2y + x² λ + y² λ – 8 λ
Agar ekstrim F’ = 0
Fx = 2 + 2xλ = 0 diperoleh λ = -2/2x = -1/x………………(1)
Fy = 2 + 2yλ = 0 diperoleh λ = -2/2y = -1/y………………(2)
Berdasarkan (1) dan (2) : -1/x = -1/y atau x = y
Menurut fungsi kendala x² + y² = 8 jika x = y maka x² + x² = 8
2x² = 8
x² = 4
x = ± 2 berarti y = ± 2
karena x = y = ± 2 maka z = ± 2² + ± 2² = 8
penyidikan nilai ekstrim :
ntuk x = y = 2. maka l = -1/x = -1/y =-1/2
Fxx = 2l = 2. –1/2 = -1 < fyy =" 2l" 2 =" -1" x =" y" l =" -1/x" y =" ½" xx =" 2l" 2 =" 1"> 0 karena Fxx dan Fyy > 0 maka nilai
Fyy = 2l = 2. 1/2 = 1 > 0 ekstrimnya adalah minimum

Contoh 2:
Kepuasan seorang konsumen untuk mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan dengan fungsi utilitas U = x²y³. Jumlah pendapatan konsumen Rp. 1.000, harga X dan Y masing-masing per unit adalah Rp. 25 dan Rp. 50. Hitunglah kombinasi konsumsi x dan y yang memberikan kepuasan optimum, serta besarnya nilai kepuasan optimal tersebut.

Jawab:
Maksimalkan U = x²y³ dengan kendala 25X + 50Y = 1000
F = x²y³ + λ (25X + 50Y – 1000)
Fx’ = 2xy3 + 25 λ
Fy’ = 3 x²y2 + 50 λ
2xy3 + 25 λ = 0
25 λ = – 2xy3
λ = – 2xy3
25
3 x²y2 + 50 λ = 0
50 λ = – 3 x²y2
λ = – 3 x²y2
50
– 2xy3 = – 3 x²y2
25 50

– 100 xy3 = – 75 x²y2
xy3 = ¾ x²y2
y = ¾ x²y2
xy2
y = ¾ x
x = 4/3 y

Masukkan ke dalam fungsi kendala:
25X + 50Y = 1000
25X + 50 (¾ x ) = 1000
25X + 150/4 x = 1000
100/4 x + 150/4 x = 1000
250/4X = 1000
X = 16
Y = ¾ x
Y = ¾ . 16
Y = 12
Kemudian masukkan ke dalam fungsi utilitas:
U = x²y³
U = 162.123
U = 256.1728
U = 442.368


Kerjakan di rumah:
N = FK2/5 + 7 F1/7 K1/7
NF =
NK =
K = 8 XY² - 3 X³Y + 4 XY – 5 X + 5 Y + 2
KX =
KY =

A = F⅜ L⅛ - 4 F² L½
AF =
AL =
Maksimumkan Z = 10 XY, dengan syarat X + Y = 16
Maksimumkan Z = 18 K + 2 L, dengan syarat K² L = 288
Maksimumkan Z = 6 K⅔ L⅓, dengan syarat 4 K + 3 L = 144